Question

一道初三数学压轴题（关于相似）

如图，在三角形ABC中，AB=AC=3,BC=2,点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，三角形BEF沿直线EF翻折后与三角形DEF重合。
设CD=x,BF=y,求y与x的函数解析式，并写出函数定义域
（请不要给我余弦定理的做法，那些只是我没有正式学过。）如果写的能够让我看得懂，并且可以把你的思路介绍给我，那我会在50分基础上加分的

Answer 1

证明：过D做BC的垂线垂足为N，过A做BC的垂线垂足为M
AM=SQRT(3^2-1)=2sqrt(2)
DN/AM=CD/CA=x/3=DN/2sqrt(2)=>DX=2sqrt(2)/3*x
CN/CM=CD/CA=x/3=CN/1=>CN=x/3
=>FN=2-BF-CN=2-y-x/3
DN^2+FN^2=CD^2=y^2=(2sqrt(2)/3*x)^2+(2-y-x/3)^2
=>x^2+2xy/3-4x/3-4y+4=0
=>y=(4x-3x^2-12)/(2x-12)
显然，BD的中垂线必须在线段BC上，当BD>BC时，BD的中垂线在BC的延长线上，此时构不成三角形，故定义域为0<x<=2

追问

大哥您好~关于您的证法，我非常地钦佩，尽管我的最后计算一部尚未达成。。
只是关于定义域的讨论，我认为您讨论的是y,x=CD,但是我不知道该怎样求出他的最大值

Answer 2

解:作H垂直BC于H,角C=60度,则角CDH=30度,则CH=CD/2=X/2,DH=√(CD^2-CH^2)=(√3/2)X.
BF=DF=Y,则CF=2-Y,FH=FC-CH=2-Y-X/2.
DF^2=DH^2+FH^2,即y²=(√3/2x)²+(2-y-x/2)²,y=(x²-2x+4)/(4-x).
由于点F在BC上,且BF=DF.故当点F移至点C处时,则DC=FC=BF=2.
所以,X的范围是:(0≤x≤2).

Answer 3

汗。前面三楼绝对错误！！！尤其那个写角C=60°的。。。无语了。。。
因为三角形BEF沿直线EF翻折后与三角形DEF重合。所以FD=FB=Y
先过A作三角形ABC的高线AG交BC于G。
所以CG/AC=1/3。然后过D作DH垂直BC，交BC于H.所以有CH/CD=CG/AC=1/3.
而CD=X,所以CH=X/3.所以DH=根号（X^2-(X/3)^2）=（2根号2）X/3
BF=Y.所以CF=2-Y.所以FH=CF-CH=2-Y-X/3
再根据勾股定理，可得，FH^2+DH^2=FD^2
然后再代入就有关系是出来了。注意X取值范围.J接下来很方便，自己算吧。

Answer 4

解：（1）在三角形ABC中：AB=AC=3 BC=2
点 D为AC 重点 所以：CD=X=1.5
因为：三角形DFC全等于DFE 所以：DE=DC
连接EC 可知EC平分角DEF和角ECF
所以DE=EF=FC=1.5 所以BF=BC--FC=2-1.5=0.5

追问

你哪只眼睛看出来点D是中点了。。。。三角形DFC全等于DFE 。。。。你是眼掐么。。。。你逗我玩呢吧。。。。。我快要昏过去了。。。。。你怎么不去死啊