Question

已知a、b、c是两两不等的有理数,且√a+√b+√c也是有理数,求证√a、√b、√c都是有理数。

Answer 1

假设d=√a+√b+√c，则d为有理数
则√a=d-√b-√c
两边平方得a=d*d+b+c+2√bc-2d√b-2d√c
移项，得a-d*d-b-c=2√bc-2d√b-2d√c
设2e=a-d*d-b-c，则e为有理数
则√bc-e=d√b-d√c
两边平方得bc+e*e-2e√bc=d*d*(b+c-2√bc)
移项，合并同类项得2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c)
其中2d*d+2e=d*d+a-b-c
而由d=√a+√b+√c可知d*d=a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac
由题意可知，a,b,c都为正数，所以2d*d+2e=d*d+a-b-c=2a+2√ab+2√bc+2√ac，是一个大于零的有理数。
对于等式2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c)，由于等式右边是一个有理数，等式左边的2(d*d+e)是不为零的有理数，故√bc一定为有理数。
同理可证√ac，√ab一定为有理数。
对于d=√a+√b+√c，
移项得d-√a=√b+√c
平方得d*d+a-2d√a=b+c+2√bc
故2d√a=b+c+2√bc-d*d-a，已经证明出等式右边是一个有理数
等式左边，由于a,b,c互不相等，故d不等于零，故
√a=(b+c+2√bc-d*d-a)/2d，是一个有理数。
同理可证，√b，√c都是有理数。

Answer 2

先从两个开始说起：若a,b是有理数，√a+√b为有理数 则√a,√b都是有理数。
反证：假设：√a,√b都是无理数，且：√a=A+x,√b=B-x,其中A,B是整数，x是绝对值小于1的无理数；
那么a=A^2+2Ax+x^2;b=B^2-2Bx+x^2;都是有理数，则：2Ax+x^2与-2Bx+x^2都是有理数，则他们的差是有理数，而他们的差是：2(A+B)x 是无理数。所以两个字母的情形得证。
由上面可知：（√a+√b）是有理数，√c是有理数，进一步√a,√b是有理数，证毕。

追问

可是题目中并没有说√a+√b是有理数。

Answer 3

哈哈，刚刚作出了这道题。 你就多设几个，然后根式移到一边在平方即可

Answer 4

像这种问题 用反证法即可
假设是无理数就好了