Question

几何如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F

．
（1）求证： ；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，求BD的长．

Answer 1

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证： AB-OF=12AC；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 12A1C1三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，求BD的长．
解答：解：
（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DGA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF= 1/2AC+OF，
∴AB-OF= 1/2AC．

（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1=G1F1=F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1=（A1B+BC1-A1C1）÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1，而CC1=A1A，
∴A1B+BC1=2AB，
因此①式可写成：EF1=（2AB-A1C1）÷2，
即AB-EF1= 1/2A1C1．

（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E=（A1C1+A1B-BC1）÷2，
如果设CC1=A1A=x，
A1E=[A1C1+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12，
即：（AB+1）2+（AB-1）2=100，
解得AB=7，
∴BD=7 根号2．

Answer 2

(1)中，你求证什么呀？