Question

若a,b均为单位向量，且a*b=0,(a-c)(b-c)<=0,则a+b+c模的最大值

Answer 1

向量c呢？应该也是单位向量吧
解：因为|a+b+c|²
＝(a+b+c)*(a+b+c)
=(a+b)²+2(a+b)*c+c*c
=|a|²+2a*b+|b|²+2(a+b)*c+|c|²
且|a|=|b|=|c|＝1，a*b=0
所以|a+b+c|²=3+2(a+b)*c （×）
又|a+b|²=|a|²+2a*b+|b|²=2
则|a+b|=√2
设向量a+b与向量c的夹角为θ，θ∈[0,π]
则由向量的数量积的定义可得：
(a+b)*c=|a+b|*|c|*cosθ=√2*cosθ
所以当θ＝0，即向量a+b与向量c共线且方向相同时，(a+b)*c有最大值为√2
这就是说此时|a+b+c|²有最大值为3+2√2 （注：由上述（×）式可得）
所以模|a+b+c|的最大值为√[3+2√2]=1+√2

追问

c不是单位向量，答案是2√2

追答

哦，c不是单位向量。
解：因为|a+b+c|^2
＝(a+b+c)*(a+b+c)
=(a+b)^2+2(a+b)*c+c*c
=|a|^2+2a*b+|b|^2+2(a+b)*c+|c|^2
且|a|=|b|＝1，a*b=0
所以|a+b+c|^2=2+2(a+b)*c+ |c|^2 （1）
又|a+b|^2=|a|^2+2a*b+|b|^2=2
则|a+b|=√2
设向量a+b与向量c的夹角为θ，θ∈[0,π]
则由向量的数量积的定义可得：
(a+b)*c=|a+b|*|c|*cosθ=√2*|c|*cosθ
所以当θ＝0，即向量a+b与向量c共线且方向相同时，(a+b)*c有最大值为√2|c|
这就是说此时|a+b+c|^2有最大值为2+2√2|c|+ |c|^2=(√2+|c|)^2 （注：由上述（1）式可得）
即模|a+b+c|有最大值√2+|c| (2)
又(a-c)(b-c)≤0即a*b-(a+b)*c+|c|^2≤0
也就是|c|^2≤(a+b)*c≤√2|c|
所以|c|有最大值√2
则由（2）式可知模|a+b+c|有最大值为2√2

Answer 2

2√2