Question

当函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有f(0)=0 这是为什么？

当函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有f(0)=0 但若为偶函数，未必有f（0）=0 这是为什么？ 奇函数的图像可以不经过原点么？如果奇函数的图像可以不经过原点，那么f（0）必定等于0就不成立了 好纠结啊
望各位大侠们仔细给小弟讲讲 要仔细的步骤

Answer 1

问题1、根据其定义，设函数y=f（x）的定义域为R，R为关于原点对称的数集，如果对R内的任意一个x，都有x∈R，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。
从定义可知f(-x)=-f(x)，那么就有（x，y）和（-x，-y），所以，奇函数的图像是“奇函数图象关于原点（0，0）中心对称”。将x=0代入，由于（0，y）就有（-0，-y）【在这里为了更直观看出：- x = - 0 = 0，所以用 - 0表示，事实上并没有-0这种写法】，既然 - 0 = 0，那么 -y=y，除了y=0，难道y还能取其他值吗？所以必有f(0)=0，也就是x=0时y=0，也就是奇函数图像一定经过原点。

问题2、根据其定义，设函数y=f（x）的定义域为R，R为关于原点对称的数集，如果对R内的任意一个x，都有x∈R，且f(x)=f(-x)，则这个函数叫做偶函数。

根据f(x)=f(-x)，那么就有（x，y）和（-x，y），也就是说±x对应一个y值，但从y=y，能说明y就一定等于0吗，显然是不能的，所以偶函数的图像是关于Y轴对称的。因此，偶函数不一定有f（0）=0，视具体函数式而定。

Answer 2

当函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，定义域X=0可取，函数是一对一的映射，所以必有对应的函数值y=0;
奇函数的图像可以不经过原点。如：y=1/x. 但你看清楚，此时的函数定义域中不包含x=0（虽然图像关于原点对称）。没有x=0的原像，y=0也就不存在了。所以f(0)=0不存在。

Answer 3

当函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，f(-x)=-f(x)
代入x=0, 得 f(0)=0