Question

已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2,a(n+1)=1/2(an+1/an),bn=(an+1)/(an-1) (1)求数列{bn}的通项公式

（2）令cn=(an-1)/(an+1-1)求数列{cn}的通项公式
（3）设Sn是数列{an}的前n项和，当n>=2时，求证Sn<n+4/3

Answer 1

a(n+1)=[a(n)+1/a(n)]/2,
a(n+1)+1=[a(n)+1+1/a(n)+1]/2=[a(n)+1 + (a(n)+1)/a(n)]/2 = [a(n)+1][1+1/a(n)]/2
=[a(n)+1]^2/[2a(n)]
a(n+1)-1=[a(n)-1+1/a(n)-1]/2 =[a(n)-1 + (1-a(n))/a(n)]/2 = [a(n)-1][1-1/a(n)]/2
=[a(n)-1]^2/[2a(n)],
[a(n+1)+1]/[a(n+1)-1] = [a(n)+1]^2/[a(n)-1]^2 = {[a(n)+1]/[a(n)-1]}^2,
b(n+1)=[b(n)]^2,
b(1)=[a(1)+1]/[a(1)-1]=3>0,
b(n)>0.
ln[b(n+1)] = 2ln[b(n)],
{ln[b(n)]}是首项为ln[b(1)]=ln(3),公比为2的等比数列.
ln[b(n)]=ln(3)*2^(n-1) = ln{3^[2^(n-1)]},
b(n)=3^[2^(n-1)]

b(n)=[a(n)+1]/[a(n)-1],
b(n)a(n)-b(n)=a(n)+1,
a(n)[b(n)-1]=b(n)+1,
a(n)=[b(n)+1]/[b(n)-1],
a(n)-1=2/[b(n)-1],
a(n+1)-1=2/[b(n+1)-1],
c(n)=[a(n)-1]/[a(n+1)-1]=[b(n+1)-1]/[b(n)-1]={3^[2^n] - 1}/{3^[2^(n-1)] - 1}

a(n)=[b(n)+1]/[b(n)-1]=1+2/[b(n)-1]= 1 + 2/{3^[2^(n-1)] - 1}
a(1)=1+2/{3-1}=2=1+1,
n>=2时, 2^(n-1) >= n,
3^[2^(n-1)] >= 3^n,
3^[2^(n-1)] - 1 >= 3^n - 1 >2*3^(n-1),
1/{3^[2^(n-1)]-1} < 1/[2*3^(n-1)]
a(n) = 1 + 2/{3^[2^(n-1)] - 1} < 1 + 1/3^(n-1),
s(n)<[1+1]+[1+1/3] + [1+1/3^2] + ... + [1+1/3^(n-1)]
=n+[1+1/3+...+1/3^(n-1)]
=n+1+1/3+[1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-1)]
<n+1+1/3
=n+4/3