Question

数学 若关于x的方程|x|/(x-3)=kx^2有四个不同的实数根

k的取值范围 要过程

Answer 1

k=0时,只有1个慎悔根,x=0,不满足要求槐孝档.
k>0时,x>3,|x|=x, 方程化为x/(x-3)=kx^2, 0=kx^3-3kx^2-x是3次方程,至多有3个实根,不满足要求.
因此,k<0.
x<3,
显然,x=0是方程的一个实根.方程两边同时消去|x|,有
1/(x-3)=k|x|,
若0<x<3,则1/(x-3)=kx, 0=kx^2-3kx-1在(0,3)上至多有2个实根.
Delta=9k^2+4k=9k(k+4/9)>=0, k<=-4/9.
若k=-4/9,则Delta=0.x=3/2是(0,3)上的唯一实根.
方程在x<0上必须有2个不同的实根.
此时,1/(x-3)=-kx, 0=kx^2-3kx+1.
Delta=9k^2-4k=9k(k-4/9)=9*(-4/9)*2(-4/9)=32/9>0,
x(1)=[3k-(32/9)^(1/2)]/(2k)=[3-(4/3)*2^(1/2)*(-9/4)]/2>0,与x<0矛盾.
因此,k不为-4/9.

若k<-4/9.则1/(x-3)=k|x|在(0,3)上有2个不同实根.
在x<0时只能有1个实根.
x<0时,1/(x-3)=k|x|=-kx,0=kx^2-3kx+1. k<-4/9, -k>4/9, 0<铅乱-1/k<9/4.
Delta=9k^2-4k=9k(k-4/9)=9(-k)(-k+4/9)>9(4/9)(4/9+4/9)=18(4/9)^2,
x(1)=[3k-(Delta)^(1/2)]/(2k)=[3-(Delta)^(1/2)*(1/k)]/2
=[3+(Delta)^(1/2)*(-1/k)]/2 >0, 要舍去x(1).
x(2)=[3k+(Delta)^(1/2)]/(2k)=[3+(Delta)^(1/2)*(1/k)]/2必须要小于0.
3+(Delta)^(1/2)*(1/k)<0,
(Delta)^(1/2)*(1/k)<-3,
(Delta)^(1/2)>-3k>0,
9k^2-4k=Delta>9k^2,
k<0,满足要求.

因此,k<-4/9时,|x|/(x-3)=kx^2在(0,3)上有2个不同的实根,在x=0和x<0上分别有1个实根,在x>3上无实根.满足要求.