Question

已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞)

(1)当a=1/2是，求f(x)的最小值
(2)若对于任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

(1).f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2
a=1/2 f(x)=x+1/2x+2 为对钩函数

当x=根号a时 f(x)min=2+根号2

(2). f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2

f(x)>0

x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立

当a<0时

f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2

所以a>-3 所以a∈(-3,0)

所以综上所述 a∈(-3,正无穷)

或者

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
f(x)>0
x^2+2x+a>0即可
(x+1)^+a-1>0

此时此函数满足x最小时成立即都可成立

x=1时 4+a-1>0

a>-3

追问

(1）中“x=根号a时”即x=根号2/2<1啊，x不是大于等于1么

追答

对不起啊，打错了
（1）a=1/2时f(x)=x^2+2x+a/x=x+2+(1/2x)
当x∈[1,+∞)时f′(x)=1-1/2x^2≥0,
f(x)在[1,+∞) 是增函数,f(x)的最小值为f(1)=7/2