Question

数学双曲线问题

P是双曲线 X的平方/16 减去 Y的平方除以9=1上的一点,F1和F2是焦点,若∠F1-P-F2=60°,求三角形F1-P-F2的面积
需要详解我的方法是用余弦定理但是貌似算错了大家可以用余弦定理也可以用更简单的方法帮我解答不会亏待你们滴!!!

Answer 1

你可以用余弦定理，但如果是填空题或选择题可以直接用公式，

双曲线焦点三角形面积公式为b^2*1/tan∠F1PF2/2=9*√3=9√3 

推导过程如下：

设∠F₁PF₂=α，双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1

因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中，由余弦定理得

F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα

        =|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)

       =2b^2/(1-cosα)

三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα

              =b^2·sinα/(1-cosα)

对于本题，a=60°，所以s=9√3

Answer 2

双曲线x^2/16-y^2/9=1
a^2=16,b^2=9,c^2=a^2+b^2=25
a=4,b=3,c=5
P是双曲线上的一点,F1和F2是焦点，设P在第一象限，F1是左焦点，则
PF1－PF2＝2a=8
cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2*PF1*PF2)
1/2=[(PF2+8)^2+PF2^2-100]/[(PF2+8)PF2]
PF2^2+8PF2-24=0
PF2=(-8+4√10)/2=-4+2√10
PF1=PF2+8=4+2√10
故S△＝1/2*PF1*PF2*sin∠F1PF2
=1/2*144*√3/2
=36√3

Answer 3

分析：这是一道填空题。主要考察对圆锥曲线的定义的理解和应用。同时，在求三角形面积或范围题中，三角形面积公式 S=1/2 ab sin C和余弦定理相结合考得较多
题目中 三角形 F1PF2中，已知两边夹角为60度，只需要求出两边乘积即可解。
哪里会有这个 乘积呢？ 是分别求出 PF1,PF2还是整体考虑呢？
当然，联系双曲线定义：|PF1-PF2|=2a (这里的a=4,实半轴长），两边同时平方可得 乘积，但同时又出现了 平方和，联系余弦定理在三角形PF1F2中，易求。
过程自己算。
答案：9√3

Answer 4

一