Question

已知函数f(x)=x²-4ax+2a+6(x∈R)当函数的值域为【0,＋∞),求a的值

(2)当a≤2分之3且函数f(x)的最大值大于等于4-4a²时，求函数g(a)=2-a(a+3)的值域

Answer 1

显然,f(x)的二次项系数为1>0,
f(x)为一开口向上的抛物线.
要使f(x)∈[0,+∞),则需
(-4a)^2-4×1×(2a+6)≤0
→2a^2-a-3≤0
→-1≤a≤3/2.
即a∈[-1,3/2].

（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
有△≤0，即-1≤a≤ 32；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a2-3a+2=- (a+3/2)2+ 174，其中 (a∈[-1，3/2])；
∴二次函数f（a）在 [-1，3/2]上单调递减．
∴f (3/2)≤f（a）≤f（-1），即- 19/4≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为 [-19/4，4]．

Answer 2

解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2-4ax+2a+6图象不在x轴下方，
∴△=0，即16a2-4（2a+6）=0，∴2a2-a-3=0，
解得：a=-1或a=32．
（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
有△≤0，即-1≤a≤32；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-(a+
32)2+174，其中 (a∈[-1，
32])；
∴二次函数f（a）在[-1，
32]上单调递减．
∴f(
32)≤f（a）≤f（-1），即-194≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为[-
194，4]．