Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1

1.求f(x)的表达式
2.y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，求实数m的范围
3.在区间【-1，+1】上，函数y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴ {a=1 b=-1 c=1，
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2-3x+1＞m恒成立；
令 g(x)=x²-3x+1=(x-3/2)²-5/4，
x∈[-1，1]则对称轴： x=32∈[-1，1]，
则g（x）min=g（1）=-1
∴m≤-1；
(2)解法见(3)

Answer 2

可知直线为二次函数。
则f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b（x+1）+c
f(x+1)-f(x)=ax^2+2ax+a+bx+b+c-ax^2-bx-c=2ax+b
根据对应原则，b=0
2a=2
a=1
f(0)=c=1
f(x)=x^2+1

追问

还有一题
讨论函数f(X)=X+2分之X+A在区间（负2，+无穷）上的单调性。