Question

急求：定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(x)是区间（0，+∞）上的增函数，

已知f(1)=f(-1)=0
f(x)=f(-x)
解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0

Answer 1

原不等式化为f（2x-1）<=0，依题意，f（x）为偶函数，并且在（0，+∞）递增，f（1）=0，那么只需-1<=2x-1<=1且2x-1不等于0，解得x属于【0,1/2）U（1/2,1】

Answer 2

由f(xy)=f(x)+f(y)得
f(2)+f(x-1/2)=f(2x-1)
又由f(x)=f(-x)得函数f(x)为偶函数
且
f(2x-1)=f(1-2x)
因为f(1)=f(-1)=0
且在区间（0，+∞）上,f(x)为增函数
所以不等式f(2)+f(x-1/2)≤0在该区间只需满足2x-1≤1即0<x≤1
同理在区间（-∞,0）上,x取值为-1≤x<0.
又2x-1=0得x=1/2.因此x的取值范围为:
[-1,1/2)U(1/2,1]

Answer 3

定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1)=f(-1)=0，
∴f(-x）=f(x),
f(x)是区间（0，+∞）上的增函数，
∴f(x)是区间（-∞，0）上的减函数，
不等式f(2)+f(x-1/2)≤0化为
f(2x-1)<=f(土1），
∴0<2x-1<=1,或0>2x-1>=-1,
∴1/2<x<=1,或-1<=x<1/2.

Answer 4

由题意可得：该函数是偶函数
f(x)是区间（0，+∞）上的增函数，是区间（﹣∞，0）上的减函数
f(2)+f(x-1/2)≤0=f(1)
f(2x-1)≤f(1)
-1≤2x-1≤1且2x-1≠0
故[0,1/2﹚∪﹙1/2,1]