Question

设函数f(x)的定义域为[-1,1]且满足 对任意的x,y属于（-1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy) 求（1）f(0)的值，

设函数f(x)的定义域为[-1,1]且满足 对任意的x,y属于（-1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy) 求（1）f(0)的值，并证明f(-x)=-f(x) （2）当x属于（-1,0）时，有f(x)>0,判断f(x)在（1,0）上的单调性

Answer 1

(1) 令 x=y=0, f(0) = 0.
令y= -x， f(x)+f(-x)=f(0)=0, 故 f(-x)=-f(x) 奇函数
(2) 令 x2 > x1 , x1, x2 都属于（-1,0）， 则
f(x2) - f(x1) = f(x2) + f(-x1) =f[ (x2 - x1) / (1 + x1 x2) ]
= - f[ - (x2 - x1) / (1 + x1 x2) ],
其中 - (x2 - x1) / (1 + x1 x2) 属于（-1,0），f[ - (x2 - x1) / (1 + x1 x2) ] > 0
f(x2) - f(x1) = - f[ - (x2 - x1) / (1 + x1 x2) ] <0
故在（-1,0）上，f(x)为减函数， 由奇函数的性质 f(x)在（1,0）上也是减函数

Answer 2

因为对任意x∈R，有f(x+y)=f(x)*f(y)
那么f(0+0)=f(0)*f(0)
解得f(0)=0或者f(0)=1
当f(0)=0时 f(x+0)=f(x)=f(x)*f(0)=0使得不存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2）
所以f(0)=1
(2)f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1
则f(x)=1/f(-x)=f(x/2)^2 (f(-x)≠0)
故f(x)>0