Question

证明：任意两个有理数之间必有一个无理数（别举特例啊）

Answer 1

证明： 　　设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得N(β-α)>1，即β-α>(1/n) 　　任意取定有理数γ(0)<a，由于（1/N)>0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈N，使得γ(0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a. 　　设 γ(0)+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故 　　γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β 　　=a+(1/N)-β 　　<0 　　即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。 　　类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。

Answer 2

设a，b是有理数，则a+(b-a)/√2就满足要求的无理数

追问

能不能不用这种特例的方法

追答

这不是特例，因为a和b（a<b)是任意两个有理数，而不是a=1，b=2之类的

追问

能不能用公理或定理之类直接证明，或用反证法呢？

追答

你或许没有明白题意，“任意两个有理数之间至少有一个无理数”，即存在性问题，我对任意给定的数a与b，就找到了这样的一个无理数，至于还有没有其他的无理数，不是问题要关心的。