Question

已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|，

（1）当a=2时，写出y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值

Answer 1

(1) ，a=2时，f(x)=x|x-2|的单调递增区间为：(-无穷，1)，(2，+无穷)。
(2) ，a＞2时，f(x)在区间(-无穷，a/2)，(a，+无穷)单调递增；
在区间(a/2，a)单调递减。
因为a＞2，所以 当2<a<=3时，1<a/2<=2<a，
函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值只在x=1或x=2时取得，
而f(1)=a-1 ， f(2)=2a-4。而3>=a>2，所以 f(1)>f(2)。
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
3<a<=4时，1<a/2<=2<a，f(1)<f(2)，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1；
a>4时，1<2<a/2，f(x)在区间(-无穷，a/2)，单调递增，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。
综上可知：当2<a<=3时，(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
a>3时，f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。