Question

等差数列＜an＞的各项为正数，a1=3,前N项和为sn,＜Bn＞为等比数列，

B1=1,且b2S2=64,b3S3=960~问〔1〕求an与bn
（2）证明1/S1+1/S2+1/S3+......1/Sn<3/4

Answer 1

设an=a1+(n-1)d，bn=b1*q的(n-1)次方
即b2s2=b1*q*(a1+a2)=q*(3+3+d)=q*(6+d)=64
b3s3=b1*q的2次方*(a1+a2+a3)=q的2次方*(9+3d)=960
即求q*(6+d)=64和q的2次方*(9+3d)=960的解，因为有两个方程两个未知数，即可以求出d=2或d=负5/6，但是一位等差数列AN的各项为正数，所以d=2，即q=8
所以即an=3+2（n-1）=2n+1，bn=8的（n-1）次方

第二题的解答为1/S1+1/S2+1/S3+......1/Sn=1/a1+1/(a1+a2)+1/(a1+a2+a3)+1/(a1+a2+……an)=1/3+1/8+1/15+1+24+1+35+……+1除以(a1+an)*n/2=1/1*3+1/2*4+1/3*5+1/4*6+1/5*7+……+1/n*(n+2)=1/2*【(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4--1/6)+（1/5-1/7）+……+(1/n-1/n+2】=1/2*【1+1/2-1/n+1-1/n+2】=1/2*【(3*n*n+5n)/2*n*n+6n+4】=(3*n*n+5n)/4*n*n+12n+8
{这解题关键是能把数字拆分成两个数字相乘，再拆成前后数字相减，最后削项，即错位相削法）
假设证明的题目是成立的，即1/S1+1/S2+1/S3+......1/Sn=(3*n*n+5n)/4*n*n+12n+8<3/4，
即通分得12*n*n +20n <12*n *n+36n+24 即16n+24﹥0 因为n恒大于0，所以16n+24恒大于0，即1/S1+1/S2+1/S3+......1/Sn<3/4恒成立。

Answer 2

1.
设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,则:
b2S2=(b1*q)(a1+a1+d)=q(6+d)=64……①
b3S3=(b1*q^2)(a1+a1+d+a1+2d)=(q^2)(9+3d)=960即(q^2)(3+d)=320……②
联立①②式得q=8或q=40/3,则d=2或d=-6/5(舍去),故d=2,q=8
∴an=a1+(n-1)d=2n+1
bn=b1*q^(n-1)=8^(n-1)=2^(3n-3)
2.
Sn=(a1+an)*n/2=n(n+2)
1/Sn=1/[n(n+2)]=(1/2)*[1/n-1/(n+2)]
∴原式=(1/2)*{(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+…+[1/(n-2)-1/n]+[1/(n-1)-1/(n+1)]+[1/n-1/(n+2)]}
=(1/2)*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=(1/2)*{3/2-(2n+3)/[(n+1)(n+2)]}
=3/4-(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]

Answer 3

q(a1+a2)=64
=>q(6+d)=64
q^2(a1+a2+a3)=960
=>q^2(9+3d)=960
d=-6/5（舍），2
q=8
(1).an=3+2(n-1)=2n+1
bn=8^(n-1)
(2).sn=(3+2n+1)n/2=n(n+2)
1/sn=1/[n(n+2)]=[1/n-1/(n+2)]/2
1/s1+1/s2+...+1/sn=1/2{1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1/(n+2)}=1/2[1+1/2-1/(n+2)]=3/4-1/[2(n+2)]<3/4