Question

已知函数f(x)对一切实数x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时，f(x)小于0，又f(3)=-2

（1）试判断该函数的奇偶性
（2）试判断该函数在R上的单调性
（3）求f(x)在[-12,12]上的最大值和最小值

Answer 1

1)
x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以为奇函数！
2)
当x＞0时，f(x)＜0

设定义域R内x1 <x2 设x2=x1+d d>0
f(x2)=f(x1+d)=f(x1)+f(d)
d>0 f(d)<0
f(x2)-f(x1)=f(d)<0
所以函数在R上单调递减！

3）
所以：f(x)在[-12,12]上的最大值为f(-12)
最小值为f(12)

f(3)=-2.f(x+y)=f(x)+f(y),
f(12)=2*f(6)=4*(f3)=-8
f(-12)=-f(12)=8
所以
f(x)在[-12,12]上的最大值为8
最小值为-8