Question

已知函数f（x）对于任意的x，y属于R，总有f（x）+f（y）=f（x+y）,且x<0时，f（x）大于0.

（1），求证函数f（x）是奇函数；（2），求证：函数f（x）是R上的减函数
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）<0。求实数m的取值范围

Answer 1

1）证明：
因为函数f（x）对于任意的x，y属于R，总有f（x）+f（y）=f（x+y）
所以f（0）+f（0）=f（0+0），即2f（0）=f（0），得f（0）=0
因为f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函数f（x）是奇函数

2）证明：
由1）可知函数f（x）是奇函数
所以当a<b时，f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b)
因为x<0时，f（x）大于0
a-b<0，f(a-b)<0
所以当a<b<0时，f(a)-f(b)<0
所以函数f（x）是R上的减函数

3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）<0
f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）<0
因为f（x））是R上的减函数
所以x>0时，f（x）<f（0）=0
所以1-2m>0，得m<0.5
因为要在定义在（-2，2）上时，函数才满足f（-m）+f（1-m）<0
所以 -2<-m<2,即 -2<m<2
-2<1-m<2,即,-1<m<3
当-2<m<2，,-1<m<3，m<0.5同时满足时才符合题目。
所以m的取值范围 为-1<m<0.5

希望能帮到你，望采纳！！

Answer 2

[[[1]]]
∵恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
∴当x=y=0时,可得f(0)=f(0)+f(0).
∴f(0)=0.
再假设x+y=0.则y=-x.且
f(x)+f(-x)=0.
∴由定义可知,
函数f(x)为奇函数,
[[[2]]]
可设a, b∈R,且a＜b.
则a-b＜0,由题设可知,f(a-b)＞0.
f(a)=f[(a-b)+b]=f(a-b)+f(b)
∴f(a)-f(b)=f(a-b)＞0
∴f(a)＞f(b)
即当a＜b时,有f(a)＞f(b).
∴由单调性定义,函数f(x)在R上递减.
[[3]]
由题设可知,
函数f(x)在区间(-2,2)上,是递减的奇函数,
∴f(-m)+f(1-m)＜0等价于
f(1-m)＜f(m)
等价于-2≤m＜1-m≤2
解得:-1≤m＜1/2

Answer 3

(1)
函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)

令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0

令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),

即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0

所以：f(-x)=-f(x)

(2)
设任意实数x1,x2,且x1＜x2

则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)

由已知条件，x＞0时,有f(x)＜0；

现在x2-x1＞0，所以得到f(x2-x1)＜0,

即f(x2)-f(x1)＜0，由于x1＜x2，且都是实数。

f(x)在R上是减函数。

Answer 4

解：
（1）证明：令x=y=0,则f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
所以函数f（x）是奇函数

（2）证明：因为x<0时，f（x）大于0
所以令 -x<0,即x>0,f（-x）= - f（x）大于0,即x>0时f（x）小于0
任取x1<0<x2
f(x1)>0,f(x2)<0
所以f(x1) - f(x2)>0
所以函数f（x）是R上的减函数

（3）因为函数f（x）定义在（-2，2）上
所以-2<-m<2,且-2<(1-m)<2
所以-1<m<2
又：f（-m）+f（1-m）<0
即f（1-m）< -f（-m）=f（m）
因为函数f（x）在（-2，2）上是奇函数
所以1-m>m
m<1/2
综上所述，-1<m<1/2

学习进步~~ o(∩_∩)o