二重积分求球面积用极坐标表示
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2021-01-25 广告
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解：求半径是R的球的表面积。
以此球的球心为坐标原点建立直角坐标系，
则此球的表达式为 x²+y²+z²=R²
根据球体的对称性质知，球体全部表面积等于它在第一卦限表面积的8倍
∵z=√(R²-x²-y²)
==>αz/αx=-x/√(R²-x²-y²)，αz/αy=-y/√(R²-x²-y²)
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αy)²)dxdy=Rdxdy/√(R²-x²-y²)
故 此球的表面积=8∫∫<D>dS (区域D为x²+y²=R²在xy平面的第一象限部分)
=8R∫∫<D>dxdy/√(R²-x²-y²)
=8R∫<0,π/2>dθ∫<0,R>rdr/√(R²-r²) (极坐标变换)
=-2πR∫<0,R>d(R²-r²)/√(R²-r²)
=-2πR[2√(R²-r²)]│<0,R>
=-2πR(2*0-2*R)
=4πR²。
以此球的球心为坐标原点建立直角坐标系，
则此球的表达式为 x²+y²+z²=R²
根据球体的对称性质知，球体全部表面积等于它在第一卦限表面积的8倍
∵z=√(R²-x²-y²)
==>αz/αx=-x/√(R²-x²-y²)，αz/αy=-y/√(R²-x²-y²)
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αy)²)dxdy=Rdxdy/√(R²-x²-y²)
故 此球的表面积=8∫∫<D>dS (区域D为x²+y²=R²在xy平面的第一象限部分)
=8R∫∫<D>dxdy/√(R²-x²-y²)
=8R∫<0,π/2>dθ∫<0,R>rdr/√(R²-r²) (极坐标变换)
=-2πR∫<0,R>d(R²-r²)/√(R²-r²)
=-2πR[2√(R²-r²)]│<0,R>
=-2πR(2*0-2*R)
=4πR²。
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