Question

函数奇偶性题目

已知函数f（x）=x^3+4x 求奇偶性 过程 谢谢

Answer 1

一般地，对于函数f(x) 　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。 　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） 　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 　　④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
编辑本段奇偶函数图像的特征
　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。 　　f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　　f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。 　　偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
编辑本段证明方法
　　（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称 　　（2）图像法：　f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　　f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　（3）性质法 　　利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
编辑本段性质
　　1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 　　2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 　　3、奇±奇＝奇 偶±偶＝偶 奇X奇＝偶 偶X偶＝偶 奇X偶＝奇（两函数定义域要关于原点对称） 　　4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数，则F[x]是偶函数 　　若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数 　　若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数 　　5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称

Answer 2

f(-x)=(-x)^3+4(-x)=-(x^3+4x)=-f(x).
且x∈R关于原点对称，故f(x)为奇函数。

Answer 3

f(-x)=-x^3-4x=-f(x)
奇函数