Question

定义在R*上的函数f(X), 对于任意的m, n属于正实数,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,且f(X)在R*上是减函数.

(I)计算f(1);
(II)当f(2)=1/2时,解不等式f(x^2-3x)>1

Answer 1

解：（1）因为f(xy)=f(x)+f(y)
所以令x=1，y=1，有：f(1)=f(1)+f(1)
易解得f(1)＝0

（2）由题意函数f(x)的定义域是R*，则有x²-3x>0
即x(x-3)>0，解得x>3或x<0 (1)
因为f(2)=1/2，所以由f(xy)=f(x)+f(y)可得：f(4)=f(2)+f(2)=1
则不等式f(x²-3x)>1可化为：f(x²-3x)>f(4)
又函数f(x)在R*上是减函数
所以可得：x²-3x<4
即x²-3x-4<0
(x-4)(x+1)<0
解得-1<x<4 (2)
所以由上述（1）（2）两式可得：
不等式f(x²-3x)>1的解集为：
｛x | -1<x<0或3<x<4｝

追问

请问最后取值时x为什么不能取-1和3呢

追答

x2-3x>0和x2-3x-4<0没有等于号
就是这样

Answer 2

1.假设m=1，n=1，代入到f(X), 中有，f(1)=f(1)+f(1) ∴f(1)=0
2.∵f(2)=1/2∴不等式f(x^2-3x)>1可变形为f(x^2-3x)>2f(2)再变形为f(x^2-3x)>f(4)
∵f(X)在R*上是减函数.∴只需求x^2-3x＜4的解即可。
所以解得 -1＜x＜4、希望对你有帮助，欢迎追问，可加好友。祝你学习愉快、

追问

请问f(X)在R*上是减函数为何能得出x^2-3x＜4 ？

追答

减函数f(x) x取的值越大，f(x)的值就越小。还有R*是什么意思？

Answer 3

1.要使mn=1，则m=n=1，所以f(1)=f(1)+f(1) 所以f（1）=2f(1) 推出f(1)=0
2.解：f(4)=-1
f(8)=-2
因为f(4)=f(8*1/2)=f(8)+f(1/2)
-1=-2+f(1/2)
f(1/2)=1
所以f(x^2-3x)>1即
f(x^2-3x)>f(1/2)
可以证明f（x）是减函数（用定义）
0<x^2-3x<1/2
(3-根号11）/2<x<0或者93+根号11）/2<x<3