Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增，且满足f（-a^2+2a-5）＜f﹙2a^2＋a+1），求实

Answer 1

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f（x）定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上递增，且有f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1），求a的取值范围．
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：方法一：先研究函数在[0，+∞）的单调性，再比较2a2+a+1与3a2-2a+1的大小，取值范围看两者是不是在同一个单调区间上，本题比较发现两者在同一个单调区间上，利用单调性直接比较．
方法二：比较两数2a2+a+1与3a2-2a+1的大小，看到两者不在已知单调性的区间上，故利用偶函数的性质把其转化到对称的区间上来比较大小，进而再得到两者的函数值的大小．
解答：解：法1
2a2+a+1=2(a+14)2+78≥78
3a2-a+1=3(a-13)2+23≥23(4分)
f（x）定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上递增
因此函数f（x）在[0，+∞）上递减（6分）
又f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1）
2a2+a+1＞3a2-2a+1（10分）
∴a2-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）
法2： 2a2+a+1=2(a+14)2+78≥78
3a2-a+1=3(a-13)2+23≥23(4分)
又f（x）定义在R上的偶函数，且
f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1）
∴f（-2a2-a-1）＜f（-3a2+2a-1）（6分）
又f（x）在区间（-∞，0]上递增
∴-2a2-a-1＜-3a2+2a-1（10分）
∴a2-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）

Answer 2

设t1=-a^2+2a+1,t2=2a^2+a+1
易知t1<0,t2>0则-t2<0
有f（x）是定义在R上的偶函数可得f（-a^2+2a-5）<f﹙2a^2＋a+1）=f﹙-2a^2-a-1）
又因f（x）在区间（-∞，0）上单调递增可得-a^2+2a-5<-2a^2-a-1
解得-4<a<1

Answer 3

-a^2+2a-5小于0
2a^2＋a+1大于0
所以有-a^2+2a-5的绝对值大于2a^2＋a+1，即a^2-2a+5大于2a^2＋a+1
整理得，-a^2-3a+4>0，解一下，-4<a<1