Question

设实数x+y满足(x-1)^2011+(x-1)^2009+2010x=4020 (y-1)^2011+(y-1)^2009+2010y=0 则x+y=_______

Answer 1

x+y=2
将 (x-1)^2011+(x-1)^2009+2010x=4020 两边减去2010 得
(x-1)^2011+(x-1)^2009+2010(x-1)=2010
设 t = x-1 ，有 t^2011+t^2009+2010t=2010
将 (y-1)^2011+(y-1)^2009+2010y=0 两边减去2010 得
(y-1)^2011+(y-1)^2009+2010(y-1)= -2010
设s= y-1 ，有 s^2011+s^2009+2010s= -2010
函数 f(x)=x^2011+x^2009+2010x 单调递增 ，所以 f(x) = c 只有一个根（ c 是任意实数） ，所以t，s都是唯一的
f(x) 是奇函数 即 f(-x) = - f(x) ，所以 t = -s
也就是 x -1 = -（y -1）
所以x+y=2

Answer 2

很简单啊 令x=1 y=1 那么原式成立啊 则x +y=2
这题解也太难了 这题只能用带值法了

追问

如果两个式子做和，那么将x=1，y=1带入成立，单个式子带不成立啊？

追答

这题只能推出 0<x<1 0<y<1

Answer 3

先来分析一下吧，不难想到把方程组化成(x-1)^2011 +(x-1)^2009 +2010(x-1)=2010 与 (y-1)^2011 +(y-1)^2009 +2010(y-1)=-2010 因为你看见前面那一套都是什么什么减1，后面变形自然不足为奇，之后，聪明的高一童鞋就会想到 f(t)=t^2011 +t^2009 +2010t ,t属于R 这个函数是单调递增的奇函数咦？因为f(x-1)=-f(y-1)自然就得到x-1=-(y-1)即x+y=2了，完工！如果掌握方法，这个题目不过一分钟就可以做出来了。