Question

设函数Y=KX²+(2k+1)x+1(k为实数)

设函数Y=KX²+(2k+1)x+1(k为实数)写出其中两个特殊函数,使图像不全是抛物线，画出图像；根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值

Answer 1

解答：解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x2+3x+1，
函数图形如图所示；
（2）不论k取何值，函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象必过定点（0，1），（-2，-1），
且与x轴至少有1个交点．证明如下：
将X=0时代入函数中解出Y=1，X=-2时代入函数中解出Y=-1．
所以函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）．
又因为当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点；
当k≠0时，∵△=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0，所以函数图象与x轴有两个交点．
所以函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴至少有1个交点．

（3）只要写出m≤-1的数都可以．
∵k＜0，∴函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象在对称轴直线x=- 的左侧，y随x的增大而增大．
根据题意，得m≤- ，而当k＜0时，- =-1- ＞-1，
所以m≤-1．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减性等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．

Answer 2

证明后半段。
对函数求导，Y’=2kx+2k+1
k<0时，Y’的图像是一条向下的直线，与x轴有一个焦点，交点处x=-（2k+1）/2k
当x<-(2k+1)/2k时，Y’>0，即y随着x增大而增大。
此时可带入求出任意的m值。