Question

高一数学题，数学帝来啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊！！！！！！！！！！！！！！！

知f(x) = x^2 – ax + a + 1 > 0 在[0, 1]上恒成立，求a的取值范围 详解

Answer 1

首先a + 1>0
f(x) = (x^2 – ax +a^2/4)- a^2/4+a + 1 > 0 图像关于a/2对称
情况一：
a^2-4a -4< 0时，恒成立
易得......
情况二：
a^2-4a -4>0 ，a>0
易得.....
情况二：
a^2-4a -4>0 ，a<0
易得......

追问

有人这样答，为什么啊
解：
f(x) = x^2 + x + (1 – x)(a + 1)
= x^2 + x + (1 – x)f(0) …… ①
f(x) > 0在[0, 1]上恒成立的充要条件为f(0) > 0：
若f(x) > 0在[0, 1]上成立，至少在x = 0时成立，故为必要条件；
若f(0) > 0成立，由①式易证f(x) > 0在[0, 1]上恒成立，故为充分条件。
因此，f(0) = a + 1 > 0，即a > –1。

追答

f(0) > 0 是必要的
而此时 x在[0, 1]上 x^2 + x + (1 – x)f(0) 的三个部分都大于0
所以x^2 + x + (1 – x)f(0) 一定大于0
因此，f(0) = a + 1 > 0，即a > –1。

这个方法还挺不走寻常路的

追问

"若f(0) > 0成立，"为什么证的>>>>>>由①式易证f(x) > 0在[0, 1]上恒成立

追答

x^2 + x + (1 – x)f(0) 的三个部分都大于0

追问

若f(x) > 0在[0, 1]上成立，至少在x = 0时成立，故为必要条件
这句不明白，求解释一下

追答

f(0)=(a + 1) > 0 是必要的

Answer 2

187/504

Answer 3

分三种情况
0小于1小于a/2 减函数 f（1）大于0 1-a+a+1=2恒大于0 a大于2
a/2小于0小于1增函数 f（0）大于0 a+1大于0，a大于-1 所以-1小于a小于0
0小于a/2小于1 f（a/2）大于0 a^2/4-a^2/2+a+1大于0 2-根号2小于a小于2+根号2 所以2-根号2小于a小于2
综上所述（-1，0）并上（2-根号2，正无穷）
lz验算下

追问

a=1也可以啊

追答

哦，是闭区间所
sorry，应该都可以取等的