Question

如图：直线y=-x+6与坐标轴分别相交于点A、B，点P是直线AB上的一点，Q是双曲线 上的一点，若O、A、P、Q为顶

如图：直线y=-x+6与坐标轴分别相交于点A、B，点P是直线AB上的一点，Q是双曲线 上的一点，若O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，请在图中找出所有符合条件的点Q，并求出点Q的坐标和写出相应k的值．

Answer 1

解：令y=0得x=6，令x=0得y=6，可加A，B两点坐标分别为：A（6，0），B（0，6）；此处利用到课本关于坐标x轴上的点纵坐标为零，y轴上的点横坐标为零；
因为P在AB上，
∴P在直线y=-x+6上，这样可设P点坐标为（x，-x+6）；这种设未知数简便了运算；
（1）根据OQAP为菱形，则|OP|=|AP|，（菱形四个边相等的性质）；
由两点距离公式得：|OP|= = ，
|AP|= = ；
∴2x2-12x+36=2（x-6）2，解：x=3；
于是点P的坐标为：（3，3）；
设Q坐标（xq，yq）又由于OA的中点坐标为：（3，0）；PQ的中点的坐标为：（ ， ），根据菱形的性质OA的中点即为PQ的中点，∴3= ，0= ，解：xq=3，yq=-3
∴此时点Q坐标为：（3，-3），k=3×（-3）=-9；

（2）同理，OAQP为菱形时，|OA|=|OP|
= ，
解：x=0或x=6；
P点坐标为（0，6）或（6，0）（当P点为（6，0）与A点重合，无法组成菱形PAQP所以舍去）
此时：O（0，0）A（6，0）Q（xq，yq）P（0，6）
OQ中点即为AP中点有：xq=6，y=6，
Q点坐标为：（6，6），k=6×6=36；

（3）同理，OAPQ为菱形时，|OA|=|AP|
= ，
解x=6+3 或x=6-3 ；
P点坐标为：（6+3 ，-3 ）或（6-3 ，3 ）
此时O（0，0），A（6，0），P（6+3 ，-3 ）或（6-3 ，3 ），Q（xq，yq）
OP中点即为AQ中点，可以求出：
Q点坐标为：（3 ，-3 ）或（-3 ，3 ），k=3 ×（-3 ）=（-3 ）×3 =-18；

Answer 2

fg