Question

已知f（x），g(x)均为奇函数，且F（x)=af(x)+bg(x)+2在（0，正无穷）上有最大值5，

已知f（x），g(x)均为奇函数，且F（x)=af(x)+bg(x)+2在（0，正无穷）上有最大值5，则F（x)在（负无穷，0）上最小值 ？

Answer 1

af(x)+bg(x) 为奇函数 ，在（0，正无穷）上 af(x)+bg(x) ≤ 3，
在（负无穷，0）上 af(x)+bg(x) = - [ af(-x)+bg(-x) ] , af(-x)+bg(-x) ≤ 3, af(x)+bg(x) ≥ -3
故在（负无穷，0）上， F（x)=af(x)+bg(x)+2 ≥ -1 ，即 最小值为 -1

Answer 2

H(-x)=af(-x)+bg(-x)+2=-[af(x)+bg(x)]+2，x在（0，正无穷）
则-x在（负无穷，0）
H(x)最大为5，所以af(x)+bg(x)最大为3
所以-[af(x)+bg(x)]最小为-3
所以H(x)在（负无穷，0）上最小值为-3+2=-1
综上所诉，为-1