Question

已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷大)且f(x)在(0,正无穷大)上为增函数,f(xy)=f(x)+f（y），若f（3）=1

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)且f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(xy)=f(x)+f（y），若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围。
麻烦大家清楚一点，谢谢o(∩_∩)o ~~

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f（y），f（3）=1，
f(3x)=f(x)+1
设x=ab,则f(x)=f(ab)=f(a)+f(b)
f(3x)=f(3ab)=f(a)+f(b)+1
当b=3时,f(b)=1
f(3x)=f(9a)=f(a)+2
f[9(a-1)]=f(9a-9)=f(a-1)+2
因为f(a)＞f(a-1)+2
f(a)>f(9a-9)
因为f(x)在(0,+∞)上为增函数
a>9a-9
8a<9
a<9/8
因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f（a）＞f（a-1）+2
a-1>0,a>1
1<a<9/8

Answer 2

f（a）＞f（a-1）+2
=>f(a)+1>f（a-1）+3
=>f(a)+f（3）>f（a-1）+3f（3）
=>f(3a)>f(27(a-1))
f(x)在(0,+∞)上为增函数
则有
3a>27(a-1)
故a<1/8

Answer 3

定义域为(0,+∞),所以a-1>0,a>1,
f（a）＞f（a-1）+2
=>f(a)+1>f（a-1）+3
=>f(a)+f（3）>f（a-1）+3f（3）
=>f(3a)>f(27(a-1))
f(x)在(0,+∞)上为增函数
则有
3a>27(a-1)
a<9/8
所以1<a<9/8

Answer 4

问老师