Question

如图，三角形ABC的三个顶点在圆O上，且角ACB的外角平分线交圆O于E，EF⊥BD于F。

探索EO与AB的位置关系,并予以证明 {速求~}

Answer 1

EO⊥平分AB
连接AE、BE
因为CE是∠ACD的平分线，所以：∠ACE=∠ECD
而，∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角）
所以，∠BAE=∠ACE
而，∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等）
所以，∠BAE=∠ABE
即，△EAB为等腰三角形
所以，EO⊥平分AB
证明，取AB中点H。连接OH
因为△OAB为等腰三角形，H为AB中点，所以OH⊥AB
同理，EH⊥AB
所以,O在EH上
则，OE⊥平分AB

2。
在BD上，取FG=FC，连接EG
因为EF⊥BD，所以，∠CFE=GFE=90°
又因为，CF=GH
EF公共
所以：Rt△EFC≌Rt△EFG
所以，FG=CE，且∠EGF=∠ECF
而，∠ECF=ECA（已知）
∠CAE=∠CBE（同弧所对圆周角相等）
AE=BE（1所证）
所以，△ACE≌△BGF
所以，AC=BG=BF+FG=BF+CF
所以，(BF+CF)/AC=1
且该值不会应为△ABC的改变而改变。

希望对你有所帮助~~

Answer 2

EO⊥平分AB
连接AE、BE
因为CE是∠ACD的平分线，所以：∠ACE=∠ECD
而，∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角）
所以，∠BAE=∠ACE
而，∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等）
所以，∠BAE=∠ABE
即，△EAB为等腰三角形
所以，EO⊥平分AB
证明，取AB中点H。连接OH
因为△OAB为等腰三角形，H为AB中点，所以OH⊥AB
同理，EH⊥AB
所以,O在EH上
则，OE⊥平分AB

2。
在BD上，取FG=FC，连接EG
因为EF⊥BD，所以，∠CFE=GFE=90°
又因为，CF=GH
EF公共
所以：Rt△EFC≌Rt△EFG
所以，FG=CE，且∠EGF=∠ECF
而，∠ECF=ECA（已知）
∠CAE=∠CBE（同弧所对圆周角相等）
AE=BE（1所证）
所以，△ACE≌△BGF
所以，AC=BG=BF+FG=BF+CF
所以，(BF+CF)/AC=1
且该值不会应为△ABC的改变

Answer 3

EO⊥平分AB
连接AE、BE
因为CE是∠ACD的平分线，所以：∠ACE=∠ECD
而，∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角）
所以，∠BAE=∠ACE
而，∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等）
所以，∠BAE=∠ABE
即，△EAB为等腰三角形
所以，EO⊥平分AB
证明，取AB中点H。连接OH
因为△OAB为等腰三角形，H为AB中点，所以OH⊥AB
同理，EH⊥AB
所以,O在EH上
则，OE⊥平分AB

2。
在BD上，取FG=FC，连接EG
因为EF⊥BD，所以，∠CFE=GFE=90°
又因为，CF=GH
EF公共
所以：Rt△EFC≌Rt△EFG
所以，FG=CE，且∠EGF=∠ECF
而，∠ECF=ECA（已知）
∠CAE=∠CBE（同弧所对圆周角相等）
AE=BE（1所证）
所以，△ACE≌△BGF
所以，AC=BG=BF+FG=BF+CF
所以，(BF+CF)/AC=1
且该值不会应为△ABC的改变而改变。