Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为A，且不等式f（x）大于-2x的解集为（1，3）

若f（x）的最大值为正数，求实数A的取值范围

Answer 1

设f(x)=Ax^2+bx+c,由题意得，f(x)>-2x的解集为1<x<3
则f(x)-(-2x)=0的解为1和3,且A>0(否则解集的形式应为（x> 3或x<1)，
所以有Ax^2+Bx+C+2x=0的两个根为1和3
由韦达定理得：-(B+2)/2A=4,C/A=3,解得B=4A-2，C=3A
则f(x)=Ax^2+(4A-2)x+3A=A(x^2+(4-2/A)x+3)=，由于A>0，则f(x)的最大值为在对称轴处取得,
f(x)max=f(-2+1/A)=3A-(2A-1)^2/A=(-A^2+4A-1)/A>0,由于A>0，则（-A^2+4A-1)>0
解得（2-根号3）<A<（2+根号3）