Question

设函数f(x)=x^2-1,对任意x∈[2/3,+∞),f(x/m)-(4m^2)f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的范围是

我还没学求导公式，不要涉及求导能否得出结果？若能，请给出详细点的步骤

Answer 1

把f(x)=x平方-1代入，得：
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【（x-1)^2-1】+4（m^2-1)
展开，消去4m^2,得：x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4
把x^2项合并，常数合并，得：（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
因为x≠0，所以1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3)/x^2
令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),对y求导，知当x在（-2,0）时y递减，在（-∞，-2】和【0，+∞）时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到，此时y1=-8/3
所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得：12m^4-5m^2-3≥0
因式分解，（4m^2-3)(3m^2+1）≥0,所以4m^2-3≥0
即m∈（-∞，-根号3/2】∪【根号3/2,+∞）

追问

。。。说了没学求导，不会，不要用求导算

追答

令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),
y= - 2/x - 3/x^2
由于 2/x 、 3/x^2 在[3/2，+∞)上单调递减
所以 y在[3/2，+∞)上单调递增
所以 y≥ -8/3

Answer 2

这题我喜欢！前几天才做过。(注：x^2表示x的平方）把f(x)=x平方-1代入，得：x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【（x-1)^2-1】+4（m^2-1)展开，消去4m^2,得：x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4把x^2项合并，常数合并，得：（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3因为x≠0，所以1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3)/x^2令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),对y求导，知当x在（-2,0）时y递减，在（-∞，-2】和【0，+∞）时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到，此时y1=-8/3所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得：12m^4-5m^2-3≥0因式分解，（4m^2-3)(3m^2+1）≥0,所以4m^2-3≥0即m∈（-∞，-根号3/2】∪【根号3/2,+∞）