Question

【（1+mx)^n-(1+nx)^m】/x^2在x趋于0时的极限？

Answer 1

原式= lim (x→0) [n*(n-1) * m² - m*(m-1) * n² ]/2 + + o(x)

= [ n*(n-1) * m² - m*(m-1) * n² ]/2

= mn(n-m)

完善

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。

对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。

Answer 2

(1+m x)^n = 1 + n * (mx) + n(n-1)/2 * (mx)² + o(x³)
(1+n x)^m = 1 + m * (nx) + m*(m-1)/2 * (nx)² + o(x³)
=> (1+m x)^n - (1+n x)^m = [n*(n-1) * m² - m*(m-1) * n² ]/2 * x² + + o(x³)
原式= lim (x→0) [n*(n-1) * m² - m*(m-1) * n² ]/2 + + o(x)
= [ n*(n-1) * m² - m*(m-1) * n² ]/2
= mn(n-m)

追问

谢了，不过这(1+m x)^n = 1 + n * (mx) + n(n-1)/2 * (mx)2 + o(x3) 是怎么变的，还有拿来0的

追答

x->0, 后面省略的是 x^3 项以上的幂次， 用 x^3 的高阶无穷小 o(x³) 来表示。