Question

（1）若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数，且f(1-a)+f(1-a^2)大于0，求a的取值范围

1.（1）若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数，且f(1-a)+f(1-a^2)大于0，求a的取值范围
（2）若函数是定义在R上的偶函数，且在区间（负无穷，0）上是增函数，又f(2a-1)大于f(3-a),求a的取值范围
2.已知函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a,b,c属于Z)是奇函数，且f(1)=2,f(2)小于3
（1）求a,b,c的值
（2）当x小于0时，讨论函数f(x)的单调性。
需要详细过程，谢谢各位高手了。好的可以追加悬赏。

Answer 1

1 (1).
注意“定义域”！
f(1-a)+f(1-a²)＞0推出
f(1-a)＞-f(1-a²)即
f(1-a)＞f(a²-1)
所以，有如下不等式组
-1≤1-a≤1
-1≤a²-1≤1
1-a＜a²-1
综合可解出
0≤a≤2
0≤a^2≤2即-√2≤a≤0或0≤a≤√2
a²+a-2＞0即a＞1或a＜-2.
综上所述：1＜a≤√2

(2).
因为 f(x)为偶函数且在（负无穷,0】上递增，
由对称性可得f(x)在【0，正无穷）上单调递减
因为函数是偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|)
f(2a-1)>f(3-a)可化为：f(|2a-1|)>f(|3-a|)
因为f(x)在【0，正无穷）上单调递减，
所以|2a-1|<|3-a|
平方得：|2a-1|^2<|3-a|^2
4a^2-4a+1<9-6a+a^2,
3a^2+2a-8<0,
解得-2<a<4/3.

2.
（1）f(x)=(a x²+1)/(bx+c)为奇函数,
则有f(-x)=-f(x).
(a x²+1)/(-bx+c)=- (a x²+1)/(bx+c)
-bx+c=-bx-c, c=0.
由f(1)=2得， (a +1)/b=2. 2b=a+1.
由f(2)<3得，(4a +1)/(2b)<3.
将2b=a+1代入上式：(4a +1)/( a+1)<3,
即(a-2)/(a+1)<0,-1<a<2.
∵a∈z ∴a=0或1.
a=0时，b=1/2,舍去。
a= 1时，b=1，适合题意。
所以f(x)= ( x²+1)/x=x+1/x.

（2）函数f(x)=x+1/x在(-∞,-1]上单调递增, 函数f(x)=x+1/x在[-1,0)上单调递减.

在(-∞,-1]任取x1,x2,x1>x2
f(x1)=x1+1/x1,
f(x2)=x2+1/x2,
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
因为-1≥x1>x2,
所以x1*x2>1,1-1/x1*x2>0,
x1-x2>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以在(-∞,-1]函数单调递增

函数f(x)=x+1/x在[-1,0)上单调递减
在[-1,0)取x1,x2,x1>x2
f(x1)=(x1+1/x1),
f(x2=(x2+1/x2),
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
0<x1*x2<1(x1,x2在[-1,0）之间)
1-1/x1*x2<0,
x1-x2>0,
所以f(x1)<f(x2),
所以函数在[-1,0)上单调递减