Question

设函数f(x)=ax2+bx+c是定义在[3a-1,2a+6]上的偶函数,且f(1)=2

设函数f(x)=ax2+bx+c是定义在[3a-1,2a+6]上的偶函数,且f(1)=2.
(1)求a,b,c的值。
(2)求f(x)的值域
(3)写出f(x+2)的表达式及单调区间。

Answer 1

楼上说得对，罗马不是一天建成的，不懂得休息就不懂得学习。
解：
(1)
f(x)是偶函数，偶函数的定义域关于原点对称。
故3a-1=-(2a+6)
f(x)=f(-x)
即ax²-bx+c=ax²+bx+c
解得：a=-1，b=0
f(x)的定义为[-4,4]
f(x)=-x²+c
而f(1)=-4+c=2
得：c=6

(2)
f(x)=-x²+6
当x=0时，有最大值6
当x=±4时，有最小值-10

(3)
f(x+2)=-x²-4x+2
增区间(-无穷,-2)
减区间(-2,+无穷)

Answer 2

(1)依题意：3a-1+2a+6 =0 解得：a=-1
有f(x)为偶函数 对称轴为y轴 知：b=0
f(1)=2=a+c 代入数值解得：c=3
(2)由上可知：f(x)=-x2+3 f(x)关于y轴对称
故可只考虑｛0,4｝ f(x)在该区间单调递减
所以值域为｛-13,3｝
(3)令t=x+2 则f(t)=-t2+3=-(x+2)(x+2) +3 x在｛-6,2｝区间
{-6,-2}递增 ｛-2.2｝递减

Answer 3

（1）由于是偶函数，定义域应该对称所以，-（3a-1）=2a+6得出a=-1
偶函数定义f（-X）=f（X）得出b=0
由f（1）=2得出a+c=2而a=-1 所以c=3

（2）由于是对称的，而a＜0，所以开口向下，所以最大值为f（0）=c=3
最小值为f（2a+6）=f（4）=-4²+0+3=-13
所以值域为{-13,3}

（3）f（X+2）=-1（X+2）²+3=3-（X+2）²=-X²-4X-1
根据左加右减原则，f（X+2）相当于把f（X）向左平移两个单位，所以中心线现在为X=-2
原定义域为【-4,4】，所以单调递增区间为{-4，-2}，单调递减区间为{-2，4}

Answer 4

睡吧孩子