Question

已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈【-1,2】时，f(x)的最大值是1/2，

求f（x）的表达式。

请附上过程，急需，谢谢

Answer 1

f（x）是二次函数
设f(x)=ax²+bx+c
f（x）+g（x）=(a+1)x²+bx+c+1
因为f（x）+g（x）为奇函数
所以(a+1)x²+bx+c+1上x的偶次幂前面系数为0
即a+1=0，c+1=0
解得a= -1，c= -1
所以f(x)= -x²+bx-1
对称轴为x=-2a/b=2/b
最大值为f（2/b）=-4/b²+1
x∈【-1,2】，f(x)的最大值是1/2

①当2/b∈【-1,2】
即b∈【负无穷，-2】，【1，正无穷】
即f（2/b）=-4/b²+1=1/2
解得b=±2√2符合
②当2/b＜-1,即 -2＜b＜0
最大值=f(-1)=-b-2=1/2
b= -5/2（不在范围内舍去）
③当2/b＞2，即0＜b＜1
最大值=f(2)=2b-5=1/2
b=11/4(不在范围内舍去）

综上所述f（x）= -x²+2√2x-1
和 f（x）= -x²-2√2x-1