Question

椭圆x2/a2+y2/b2=1左右焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,角F1PF2=60°,设|PF

1|/|PF2|=λ,求椭圆的离心率e和λ的关系式

Answer 1

设PF1=m ，PF2=n，∠ F1PF2＝θ=60º，则m／n＝λ，m＋n＝2a 在△F1PF2中﹙2c﹚²＝m²＋n²－2mn cosθ﹙2c﹚²＝﹙m＋n﹚²－2mn－2mn cos60º﹙2c﹚²＝﹙2a﹚²－3mn4c²／4a²＝1－3mn／﹙4a²﹚e²＝1－﹙3／4﹚mn／﹙m＋n﹚²mn／﹙m＋n﹚²＝4﹙1－e²﹚／3﹙m²＋2mn＋n²﹚／mn＝3／[4﹙1－e²﹚]m／n＋2＋n／m＝3／[4﹙1－e²﹚]λ＋2＋1／λ＝3／[4﹙1－e²﹚]3／[4﹙√λ＋1／√λ﹚²]＝1-e²
e²＝1－3／[4﹙√λ＋1／√λ﹚²]

追答

设PF1=m ，PF2=n，∠ F1PF2＝θ=60º，则m／n＝λ，m＋n＝2a
在△F1PF2中﹙2c﹚²＝m²＋n²－2mn cosθ
﹙2c﹚²＝﹙m＋n﹚²－2mn－2mn cos60º
﹙2c﹚²＝﹙2a﹚²－3mn
4c²／4a²＝1－3mn／﹙4a²﹚
e²＝1－﹙3／4﹚mn／﹙m＋n﹚²
mn／﹙m＋n﹚²＝4﹙1－e²﹚／3
﹙m²＋2mn＋n²﹚／mn＝3／[4﹙1－e²﹚]
m／n＋2＋n／m＝3／[4﹙1－e²﹚]
λ＋2＋1／λ＝3／[4﹙1－e²﹚]
3／[4﹙√λ＋1／√λ﹚²]＝1-e²e²＝1－3／[4﹙√λ＋1／√λ﹚²]