Question

判断f(X)=ax/x²+1(a≠0)在[1，+00）上的单调性并证明。

Answer 1

解:
设X1,X2在（1，正无穷）上,且X1<X2
f(x1)-f(x2)=a[x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)]
=a[(x1x2^2+x1)-(x1^2x2+x2)]/(x1^2+1)*(x2^2+1)
=a(x1x2-1)(x2-x1)/(x1^2+1)*(x2^2+1)

因为：X1,X2在（1，正无穷）上,且X1<X2
所以：(x2-x1)为正数；(x1x2-1)为正数；(x1^2+1)*(x2^2+1)为正数
所以：
1。a>0
f(x1)-f(x2)=a(x1x2-1)(x2-x1)/(x1^2+1)*(x2^2+1)＞0
f(x1)-f(x2)＞0
f(x1)＞f(x2）
所以函数在（1，正无穷）上是单调减函数;
2. a<0
f(x1)-f(x2)=a(x1x2-1)(x2-x1)/(x1^2+1)*(x2^2+1)<0
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2）
所以函数在（1，正无穷）上是单调增函数。

Answer 2

(1)若f(x)为奇函数，则f(0)=0，代入解析式可得a=1/2
（2）首先定义域为R，令x1>x2,作差，f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
又g(x)=2^x在R上单调递增，而x1>x2，分子相同，分母越大，，值反而越小
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在R上单调递增

Answer 3

判断f(X)=ax/x²+1(a≠0)在[1，+00）上的单调性并证明
这类题，用导数证明，比较简单
解析：∵f(X)=ax/(x²+1)(a≠0)
令f’(x)=(a-ax²)/(x²+1)^2=0==>x=±1
当a<0时，函数f(x)在x=-1处取极大值；在x=1处取极小值；
当a>0时，函数f(x)在x=-1处取极小值；在x=1处取极大值；
∴在[1，+00）上
当a<0时，函数f(x)单调增；
当a>0时，函数f(x)单调减；