Question

几何证明求解

Answer 1

（1） 证明：连接AC交DB于点F，再连接PF.
因ABCD为菱形，所以点F 为DB何AC的平分线，且BD⊥AC，
又因为PD=PB，所以PF为等腰三角形PDB底边BD上的中线，因而BD⊥PF，
而PF和AC为平面PAC上的两条交叉直线，所以BD⊥平面PAC，
PC为平面PAC上一直线，所以BD⊥PC
（2） 因为角BAD=60度，所以三角形ADB为等边三角形，即AD=DB=AB,
设AB=x，则AF^2= AB^2-BF^2=x^2-（x/2）^2=（3x^2）/4
PF^2=PB^2-BF^2=4-（x/2）^2=4-( x^2）/4
而AF⊥PF,所以PA^2= AF^2+ PF^2，
可得方程（3x^2）/4+4-( x^2）/4=6，
解之得x=2，AF=PF=√3，同理可得PC=√6，平面PAC⊥四边形ABCD,
则点E为其底边上的中点，CE为三角形PAC中AP边上的中线，
所以三角形PEC的面积为三角形PAC的一半。
平面PAC将四棱锥P-ABCD分为相同的两半，
所以三棱锥P-BCE的体积=1/2*1/2四棱锥P-ABCD的体积=1*4四棱锥P-ABCD的体积
四棱锥P-ABCD的体积=1/3四边形ABCD的面积*PF=2，
所以以三棱锥P-BCE的体积=1/2