Question

已知函数f(x)是定义域R的增函数,且有g(x)=f(x)-f(2-x)

1.求证：g(x)是R上的增函数; 2.如果g(x1)+g(x2)大于0，求证：x1+x2大于2

Answer 1

1 对于任意的x1>x2，有f(x1)>f(x2)，f(2-x1)<f(2-x2)，也就有(f(x1)-f(2-x1))>(f(x2)-f(2-x2))
所以g(x1)>g(x2)，所以g(x)是R上的增函数
2 假定x1+x2<=2，则有x1<=2-x2，x2<=2-x1，由于f(x)是增函数，所以f(x1)<=f(2-x2)，f(x2)<=f(2-x1)，所以f(x1)+f(x2)<=f(2-x2)+f(2-x1)，所以f(x1)-f(2-x1)+(f(x2)-f(2-x2)<=0，也就是
g(x1)+g(x2)<=0，和条件不符。所以x1+x2>2

Answer 2

1. f(x)是增函数，则f(2-x)是减函数，-f(2-x)是增函数
所以g(x)=f(x)+[-f(2-x)]是增函数
2. g(1)=0,

追问

g(1)=0, 什么意思啊？

Answer 3

已知函数f(x)是定义域R的增函数,且有g(x)=f(x)-f(2-x)，(1).求证：g(x)是R上的增函数;；
(2).如果g(x₁)+g(x₂)>0，求证：x₁+x₂>2
证明：(1)设-∞<x₁<x₂<+∞是R上的任意两点，由于f(x)是R上的增函数，故恒有：f(x₁)<f(x₂)，
即恒有f(x₁)-f(x₂)<0；又因为-x₁>-x₂，故2-x₁>2-x₂，∴恒有f(2-x₁)>f(2-x₂)，即恒有
f(2-x₂)-f(2-x₁)<0；于是恒有：
g(x₁)-g(x₂)=[f(x₁)-f(2-x₁)]-[f(x₂)-f(2-x₂)]=[f(x₁)-f(x₂)]+[f(2-x₂)-f(2-x₁)]<0
即恒有g(x₁)<g(x₂)，故g(x)是R上的增函数。
(2).若g(x₁)+g(x₂)=[f(x₁)-f(2-x₁)]+[f(x₂)-f(2-x₂)]>0
因为f(x)是增函数，所以必有x₁>2-x₁，x₂>2-x₂；即有x₁>1，x₂>1；故有x₁+x₂>2.