Question

经过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点F1作倾斜角为60°的弦AB,求:

1.AB距离
2.三角形F2AB的周长

Answer 1

1.解：根据题意可知，F1（－2，0），
直线AB的斜率：k＝tan30度＝√3/3
因此，直线的方程为：
y＝√3/3(x＋2)
代入双曲线的方程,消去y，整理得：
8x＾2－4x－13＝0
所以， x1＋x2＝1/2,x1×x2＝－13/8
从而，所求弦长为
│AB│＾2＝（1+1/3）[（1/2）＾2－4（－13/8）]
＝9
即， │AB│＝3
2.F1(-2,0),F2(2,0)
tan30=√3/3
所以AB所在直线
y=√3/3(x+2)
√3/3x-y+2√3/3=0
F2到AB的距离=|2√3/3-0+2√3/3|/√(1/3+1)
=4√3/3/(√4/3)
=2
把y=√3/3(x+2)代入双曲线
x^2-(x+2)^2/9=1
9x^2-x^2-4x-4=9
8x^2-4x-13=0
x=(1+3√3)/4,x=(1-3√3)/4
相应的y=(3√3+3)/4,y=(3√3-3)/4
A[(1+3√3)/4,(3√3+3)/4],B[(1-3√3)/4,(3√3-3)/4]
AB=3
AF2=(3√3-1)/2
BF2=(3√3+1)/2
所以周长=3√3+3