Question

求不定积分：∫√1-x^2dx 要具体步骤

Answer 1

用的函数是x²+y²=1，而√(1-x²)就是求上半圆的面积，带上积分范围，就找到所需面积了

设x=sinθ，dx=cosθ dθ

√(1-sin²θ)=cosθ

∫√(1-x²) dx

=∫cos²θ d

=(1/2)∫(1+cos2θ) dθ

=(1/2)(θ+1/2*sin2θ) + C

=(x/2)√(1-x²) + (1/2)arcsinx + C

凑微分法

凑微分法在考研里面也叫第一类换元法，但是叫凑微分其实更能说明本质特征，因为它不是真正意义上的换元。

常见的公式表之类的，我就不贴了，这里仅仅提供一些凑微分法解题过程中总结的常用公式（课本没有），这样做题时碰见了，可以立马写出来，节省时间（如果对三角函数凑微分推不出来的，我可以附带推导过程）。

Answer 2

用的函数是x²+y²=1，而√(1-x²)就是求上半圆的面积，带上积分范围，就找到所需面积了
设x=sinθ，dx=cosθ dθ
√(1-sin²θ)=cosθ
∫√(1-x²) dx
=∫cos²θ dθ
=(1/2)∫(1+cos2θ) dθ
=(1/2)(θ+1/2*sin2θ) + C
=(x/2)√(1-x²) + (1/2)arcsinx + C

Answer 3

楼上的说法也对啦，求定积分的时候这样比较便利。
求不定积分的时候用变量代换也不错啦。
设x=sinα.
dx=cosαdα
根号下1-x^2就=cosα
然后代入就可以求解