Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,f(-1)=0,且(a,b,c属于实数），求f(1)的值。

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,f(-1)=0,且(a,b,c属于R),且同时满足条件:(1)f(-1)=0;（2）对任意实数x,都有f(x)-x>=0;(3)当0<x<2时，有f(x)<=((x+1)/2)^2.
问题：（1）求f（1）的值：（2）求a,b,c的值;(3)当-1<=x<=1时，函数g(x)=f(x)-mx,(m是实数)是单调函数，求m的取值范围.

Answer 1

(1)根据条件（2）得f(1)>=1,根据条件（3）得f(1)<=((1+1)/2)^2=1,即1=<f(1)<=1.即f(1)=1.
(2)根据条件（1）得f(-1)=a-b+c=0,f(1)=a+b+c=1,两者结合得出b=1/2,a+c=1/2.将c=1/2-a,b=1/2代入二次函数得f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a;依据条件（2），即ax^2+1/2x+1/2-a-x=ax^2-1/2x+1/2-a>=0对于任意实数x均成立。显然，函数开口应向上，且与x轴有且只有一个交点。即必须满足以下条件：a>0且△=(-1/2)^2-4a(1/2-a)=(2a-1/2)^2<=0得出a=1/4,由此可得c=1/4.即a=1/4,b=1/2,c=1/4.
(3)g(x)=f(x)-mx=1/4x^2+1/2x+1/4-mx=1/4x^2+(1/2-m)x+1/4在[-1 1]上为单调函数。其对称轴为x=2m-1,观察此函数图形，得知其开口向上。只要对称轴在区间两侧即可满足单调条件。即2m-1<=-1或者2m-1>=1,得出m>=1或者m<=0.
哎，10年了，哥还是没有忘记，还能指导学弟学妹们好好学习！

Answer 2

f(-1)=a-b+c=0
f(1)=a+b+c=2b

Answer 3

f(-1)=a-b+c=0
f(1)=a+b+c=2b

Answer 4

（1）取x=1，则f(1)-1>=0，f(1)<=((1+1)/2)^2，简化后得到：①a+b+c-1≥0 ②a+b+c≤1，取①和②的交集，得到，a+b+c=1，所以，f（1）=1

Answer 5

不知道i