Question

高三数学，立体几何，不用向量，求过程

Answer 1

连接CM，过点D做DE⊥CM，交CM于点E，连接BE，BD。

下证：DE⊥面BCM。
∵AD⊥面BCD
∴AD⊥BC
又∵BC⊥CD
∴BC⊥面ACD
∴BC⊥DE
又∵DE⊥CM
∴DE⊥面BCM，证毕。

故△BMD在面BCM的投影为BEM。
由射影面积定理，得cos<C-BM-D>=S△(BEM)/S△(BDM)。
即S△(BDM)=2S△(BEM)。........①

下求：S△(BDM)。
易知AD⊥BD。
故S△(BDM)=BD×MD×1/2=√2.

下求：S△(BEM)。
考虑到BC⊥CD且BD=2√2.
故BC²+CD²=8，设BD=2√2sina，CD=2√2cosa。
则MC=√(CD²+MD²)=√(8cos²a+1)。
sin∠MCD=MD/MC=1/√(8cos²a+1)。
cos∠CMD=sin∠MCD=1/√(8cos²a+1)。
ME=MD×cos∠CMD=1/√(8cos²a+1)。
S△(BEM)=1/2×BC×ME=√2×(sina)/√(8cos²a+1)。
∴S△(BDM)=BD×MD×1/2=√2，S△(BEM)=1/2×BC×ME=√2×(sina)/√(8cos²a+1)。.....②

联立①、②，得cosa=1/2，sina=√3/2.
即BC=√6，CD=√2，又BD=2√2.
故∠BDC=60°。
综上，∠BDC=60°。