Question

已知直二面角α-l-β，A,B分别在α、β内，如果AB与平面β成45°角，AB在平面β内的映射与 l 成45°角

求AB与平面α所成的角 。并给于证明

Answer 1

如图：作AA'⊥β, BB'⊥α，∠BAB'即为所求

则：∠ABA'=45, ∠BA'B'=45

设AA'=a, 则：A'B=a, AB=√2a

BB'=(√2/2)a

在三角形ABB'中，sin∠BAB'=BB'/AB=1/2

∠BAB'=30度

故AB与平面α所成的角是30度

Answer 2

α-l-β是直二面角，则平面α⊥平面β，
在平面α上作AC⊥l,垂足C，连结BC，
在平面β上作BD⊥l，垂足D，连结AD，
因平面α⊥平面β，AC⊥l,故AC⊥平面β，
则〈CBA就是AB与平面β所成角，为45度，
设AB=1，BC是AB在平面β上射影,
△ABC为等腰RT△，BC=√2/2,
BC和l成45度，
同理，BD⊥平面α，△BDC也为等腰RT△，
BD=√2BC/2=（√2/2）*（√2/2）=1/2，
〈DAB就是AB与平面α所成角，
sin<DAB=BD/AB=1/2,
<DAB=30°，
∴AB与平面α所成角为30度。