Question

用洛必达法则求解的问题

设f(x)=2^x+3^x-2,则当x趋于0时，f(x)是x的同阶但非等价无穷小
参考答案上这么写得：
lim[(2^x+3^x-2)/x]=lim[(2^x-1)/x]+lim[(3^x-1)/x]=ln2+ln3=ln6≠1
请问是怎么算出来的？我看网上有解答说是用洛必达法则，怎么用？

网上解答：
f(x)/x=（2^x+3^x-2） /x 用洛必达法则 //x趋于0
得到ln2*2^x+ln3*3^x=ln2+ln3=ln6

又是怎么的出来的？老师没讲过，一头雾水

Answer 1

只要注意到
(2^x)'=(e^(xln2))'=e^(xln2)*(xln2)'=2^x*ln2
和
(3^x)'=(e^(xln3))'=e^(xln3)*(xln3)'=3^x*ln3
以及洛必达法则的公式
lim[f(x)/g(x)]=lim[f'(x)/g'(x)]
就可以了。

追问

还是不明白。。。
e^(xln2)怎么可能等于e^(xln2)再乘以一个xln2呢？又怎么等于2^x*ln2？？？有没有详细讲解？？？

追答

假设你知道复合函数求导的公式：（注意其中的 ' 是求导的意思）
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，
令f(x)=e^x，g(x)=xln2，则f'(x)=e^x，g'(x)=ln2,，所以就有
(e^(xln2))'=e^(xln2) * (xln2)' =2^x * ln2
而 2^x=e^(xln2) 就不用解释了吧（ 2^x=(e^ln2)^x =e^(xln2) ）

Answer 2

蓝商家蓝

Answer 3

上下同时求倒就OK

追问

？？？