Question

2009清华自主招生数学题疑问

这道题：写出所有公差是8的三项等差质数列 解法上说 设m m+8 m+16 再分别讨论m=3k 3k+1 3k+2 为什么要用3k啊？ 感觉这样很好却又不知道为什么 请高手解答
请问为什么设的是3K 不是4K 或是5K

Answer 1

质数是2,3,5,7,11,13......
1、当m=3k时，此时代入第一项，k=1可以取得3,11,19，k=2、3、4、5、、、都不成立，因为第一项不为质数了。

2、当m=3k+1时，此时代入第二项m+8=3k+1+8=3（k+3）
“ 注意了，如果是2k此时能得出2（k+整数）这个式子么。继续看”
取k=1，得第二项为12，则不成立；取k=2、3、4、5、、、第二项都是合数，则不成立。
3、当m=3k+2时，此时代入第三项，得3（k+6），从K取1开始第三项就都是合数了，则不成立。

由于，3k、3k+1、3k+2,已经涵盖了所有大于3的整数，所以得出只有一组等差质数列
即：3、11、19

追问

为什么不设5K 4K呢？

追答

如果你设4k那么，就要讨论4k+1,4k+2,4k+3，不仅要讨论的多了，最关键的还不能得出4(k+整数）从而快速推断出第一、二、三项中的一项为合数，所以，你要不停的把整数代入k，无穷无尽。
5k同理。
你这样问是因为没有掌握这道题的精髓所在：
相当于是反证法一样，证明是合数，所以不存在质数，那么更不存在等差质数列。从而快速全面的解出答案。