Question

x趋于无穷大时，（3加x/6加x)的x减1整体/2的极限

Answer 1

（3加x/6加x)的x减1整体/2，这里表达不清楚
可能是[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]求x趋于无穷大时的极限
通过恒等变形[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]
=[(6+x-3)/(6+x)]^[(x-1)/2]
=[1-3/(6+x)]^[(x+6-7)/2]
=[1-3/(6+x)]^{[-(x+6)/3]*(-3/2)-7/2}
=[1-3/(6+x)]^{[-(x+6)/3]*(-3/2)}*[1-3/(6+x)]^(-7/2)
={[1-3/(6+x)]^[-(x+6)/3]}^(-3/2)*[1-3/(6+x)]^(-7/2)
因为x趋于无穷大时[1-3/(6+x)]^[-(x+6)/3]趋于e
所以x趋于无穷大时{[1-3/(6+x)]^[-(x+6)/3]}^(-3/2)趋于e^(-3/2)
而x趋于无穷大时[1-3/(6+x)]^(-7/2)趋于1(注意这里幂指数是常数-7/2)
于是x趋于无穷大时[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]趋于[e^(-3/2)]*1=e^(-3/2)
即x趋于无穷大时[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]的极限是e^(-3/2)