一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题

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电灯剑客
科技发烧友

2013-12-25 · 智能家居/数码/手机/智能家电产品都懂点
知道大有可为答主
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这个题目有问题, 没有讲清楚域K, 相应的V也就不确定, 这自然要影响到不变子空间

1. 先写出σ在这组基下的表示矩阵
A=
2 -4
3 9

2. 在V的基域K上求出A的所有特征值和特征向量
这里先按照K=C来算
A的特征值是5和6, 对应的特征向量分别是(4,-3)^T和(1,-1)^T

3. V至少有两个平凡不变子空间{0}和V
一维的不变子空间是特征子空间span{(4,-3)^T}和span{(1,-1)^T}
没有更多的了

注意, 讲清楚域是非常重要的.
这里出题人的"运气比较好", 只要K包含Q总能得到两个特征值, 而K在span这个记号里也不显式出现, 所以从条件到结论都可以避开显式叙述K, 但这不代表题目没出错.
如果换一个例子,
A=
0 1
-1 0
K=Q或K=R, 那么σ就没有特征值(尽管A有两个复特征值, 但不属于K), 此时也就没有一维的不变子空间
但如果K=C就会有两个一维的不变子空间
追问
谢谢,这是考研的题,有好几道类似题,应该默认指R.请问T是指什么?第一个span....也就是{α|σ(α)=5α}吧?一般来说,求出特征值后该怎么算呢?
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