Question

设函数f(x)与g(x)的定义域都是{x|x属于R且x不等于正负1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数

且f(x)+g(x)=1/(x-1)，求f(x)和g(x)的解析式。

Answer 1

f(x)+g(x)=1/(x-1)
/*提示在这里，把x换成-x*/
f(-x)+g(-x)=1/(-x-1) ………………①

f(x)是偶函数 ∴f(-x)=f(x)
g(x)是奇函数 ∴g(-x)=-g(x)
f(-x)-g(-x)=1/(x-1) ………………②
①②相加，得2f(-x)=1/(-x-1)+1/(x-1)
f(x)=1/2*[1/(x-1)+1/(-x-1)]………………③
①②相减，同理得
g(x)=1/2*[1/(x-1)-1/(-x-1)]………………④
【③④即为所求】
【注：函数问题要注意一些取特殊值的技巧，比如让自变量为±1 ，0 ，±2， -x 等等，要根据题目所给条件充分联想。 】

Answer 2

令h(x)=f(x)+g(x)=1/(x-1) (1)

则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1/(-x-1) (2)

相加
2f(x)=1/(x-1)+1/(-x-1)=2/(x²-1)
所以
f(x)=1/(x²-1)
g(x)=x/(x²-1)