Question

在平面直角坐标系xoy中，一次函数Y=√3X+3√3的图像与X轴交于点A，与Y轴交于点B，点C的坐标为（3，0）

连接BC（一）求证：△ABC是等边三角形
点P在线段BC的延长线上，连结AP作AP的垂直平分线，垂足为点D并与Y轴交与点D，分别连接EA,EP。
（1）若cp=6，直接写出∠AEP的度数。
（2）若点P在线段BC的延长线上运动，（P不与点C重合），∠AEP的度数是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出∠ADP的度数。
（3)在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒一个单位长度，EC与AP与点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y=S1-S2,运动时间为t(t＞0)秒时，求y关于t的函数关系式。三问的答案都要

Answer 1

一)求证：△ABC是等边三角形；
一次函数y=√3x+3√3与x轴的交点的横坐标即y=0代入得：
√3x+3√3=0
所以，x=-3
则点A(-3,0）
同理：一次函数与y轴的交点的纵坐标代入得B(0,3√3)
已知点C(3,0)
所以，AC=|-3-3|=6
由勾股定理得到：BC^2=BO^2+OC^2=(3√3)^2+3^2=27+9=36
所以，BC=6
同理，AB=6
所以，△ABC是边长为6的等边三角形

（1）连接CD，由题意得，C、D、E三点共线，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
∴∠AEP=120°．

(2)连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
故∠AEP=360°-240°=120°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，仍为120°．

（3）如图，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：
CM=MP=1/2CP=t/2 ；
∴BM=BC+CM=6+t/2；
在Rt△BEM中，∠MBE=30°，则有：BE=2根号3/3BM=2根号3/3(6+t/2)；
∴OE=BE-OB=2根号3/3(6+t/2)-3根号3=3+3根号3t；
故S△AEC=1/2AC•OE=1/2×6×(3+根号3t/3）=3根号3+根号3t，
S△ACP=1/2PC•AN=1/2×t×3根号3=3根号3t/2；
∵S△AEC=S1+S，S△ACP=S+S2，
∴S△AEC-S△ACP=S1+S-（S2+S）=S1-S2
=3根号3+根号3t-3根号3t/2=3根号3-根号3t/2 ，
即y=3根号3-根号3t/2